SU(2)邦加球：多维结构光的广义表示

导读

近日，清华大学付星课题组，南非金山大学Andrew Forbes课题组，与南安普顿大学申艺杰博士合作在结构光的广义表征方面取得重要研究进展。该工作提出了可精确表征具有多维的结构光束的图形化工具——SU(2)邦加球（SU(2) Poincaré sphere），揭示了轨道角动量（OAM）与几何相位的模态转换。新的表征方法既可以解释经典邦加球的拓扑结构，又为结构光的定制提供了新的自由度和维度，对结构光应用于光学操纵、经典光纠缠与量子信息技术等领域具有重要意义。相关成果以“SU(2) Poincaré sphere: A generalized representation for multidimensional structured light”为题以Rapid Communications形式发表于学术刊物Physical Review A 。南安普顿大学玛丽·居里学者研究员申艺杰博士为论文的第一作者及通讯作者。

研究背景

结构光是具有任意振幅、相位和偏振的光场的总称，因其在光通信、激光加工、传感和光镊等领域的广泛应用而备受关注。结构光的图形化表示是一个重要的研究课题。邦加球是光偏振的一个经典图形表示，极大地简化了偏振问题，成为处理结构光问题的普遍工具。此前的图形化表示方法，如利用邦加球描述光自旋或偏振（图1 (a)）和OAM模式（图1 (b)），往往只关注单一维度本征态模式的演化，而存在一定的局限性。因此，寻找一种适用范围更广的高维度结构光图形化表示方法具有重要意义。

创新研究

对于高阶OAM模式，通常用谐振子模型的SU(2) 变换来表示Hermite-Laguerre-Gaussian本征模态HLG(φ, θ)，其中(φ, θ)为SU(2)矩阵的两个参量。这一广义本征模可以映射到邦加球上，(φ, θ)对应为邦加球的两个角坐标，如图1(c)所示。当本征模阶数(n, m) =(0, 1)或(1, 0)时，HLG邦加球（图1(c)）退化为传统的OAM邦加球（图1(b)）。

图1 (a)表征平面波偏振态的经典邦加球；(b)表征涡旋模式OAM态的OAM 邦加球；(c)表征HLG模式拓扑变换的HLG邦加球。

而HLG模式也仅仅是光学模式本征态的高阶推广，为了实现高维度复杂相干态光场还需要进一步推广。我们将HLG本征模式可作为SU(2)相干态的基模而实现叠加态的复合几何模，SU(2)相干态的数学形式可以与经典邦加球理论相容而进一步推广邦加球模型，如图2所示。图2(a)为表征多径几何模的SU(2)邦加球，两极表示OAM相反的旋涡多径几何模，赤道为平面几何模，两极与赤道之间的中间点代表椭圆几何模。图2(b)为表征李萨如-余摆线几何模的SU(2)邦加球。两极代表OAM相反的涡旋余摆线模，赤道为李萨如模，两极与赤道之间的中间点代表李萨如-余摆线的拓扑模态。

图2 (a)表征多径几何模的SU(2)邦加球。(b)表征李萨如-余摆线几何模的SU(2)邦加球。

图3为实验生成SU(2)邦加球特定路径上的模态。此外，SU(2)邦加球可进一步推广用于表征更一般的多自由度和高维矢量光，指导未来更复杂的高维度结构光定制，例子如图4所示，广义SU(2)结构矢量光的空间波包结构由SU(2)邦加球（紫色）决定，而每条路径上的光束偏振态由相应的偏振邦加球（绿色）决定。

图3（左）实验生成SU(2)邦加球特定路径上的模式。图4（右）广义SU(2)结构矢量光。

总 结

该工作提出的SU(2)邦加球作为结构光的广义图形化表示工具，在特殊情况下可以退化为经典邦加球。SU(2)几何模的拓扑演化可以完全映射到SU(2)邦加球上，其不仅代表了二维模态的演化，还代表了多维结构光的三维波包与经典轨迹耦合的演化。此外，该表征方法有望拓展应用于自旋轨道耦合等研究领域。SU(2)邦加球可表征具有更多自由度和维度的结构光束族，进一步扩展了结构光在量子-经典光学的理论研究与光学操纵、通信与纠缠等领域的应用。

       该工作得到Marie S.-Curie MULTIPLY Fellowship (GA713694)；国家重点研发计划(2017YFB1104500)；国家自然科学基金(61975087)；北京市自然科学基金(4172030)；北京市青年人才支持项目(2017000020124G044)等项目的支持。

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https://doi.org/10.1103/PhysRevA.102.031501